退職し失業保険給付中に就職すると再就職手当てがもらえると思います。それでは、再就職できないのですから、受給できませんが。１月後半になっても派遣先からのお仕事の紹介の連絡はきていません。

離職票についてお伺いします。
半年ほどたった本日、自己都合で退職します。

１年未満ですので、失業保険はもらえないのはわかっているのですが、それでも、離職票を会社からもらわなくてはなりませんか？
あと、会社から受け取らないといけない書類などありますでしょうか？

社会保険は入れてもらっていません。

私が初めての従業員で、社長も私も手続きの事を何もしらなくて、雇用保険に入るだけでも、大変でした・・・・・
宜しくお願いします。

質問者様がこれから再就職されるのかどうかとかが分からないので何とも言えませんが、何があるか分からないのでもらった方が良いです。

もらった方が良いと言っても、手続きをご存じでないということなので、これは職安の窓口で聞くのが一番早いです。
離職証明書を作成したいので書き方を教えてほしいのでそちらに伺いたいと連絡すれば対応してもらえると思います。
社長もしくはご自分で挑戦される場合は、職安に手続きの仕方の冊子があるのでそれを参考に。
（社長もしくは他の人がやってくれれば一番良いのですが・・・難しそうですもんね）
誰が作成するにしろ、事業主の署名、捺印、本人の署名、捺印は必要になりますのでご注意を。

会社から受け取る必要がある書類（健康保険や厚生年金に未加入の場合）
・源泉徴収票
・雇用保険被保険者証を預けている場合は、それ。万が一紛失されていても職安で再発行できますが。

上記2点は絶対です。

源泉徴収票の作り方が分からない場合は、税務署へ聞くのが良いと思います。

失業保険の給付について教えてください。

退職し失業保険給付中に就職すると再就職手当てがもらえると思います。
それは失業保険給付の手続きをしてすぐ新しい会社に就職しても貰えるのでしょうか？（例えば手続きをして1週間ぐらいで次の職場が決まった場合とか）

知人が今月いっぱいで仕事を辞める予定らしいのですが、
職安で気になる職場を見つけたらしくなるべく早くそこに連絡を取り面接などをしたいそうです。
退職の手続きをとりすぐほかに就職したら手当てや失業保険はもらえないんでしょうか？

待機期間が終了しないともらえないと思いますが、詳細はやはりハローワークで確認するのがよろしいでしょう。

【会社都合の失業保険について】失業保険についてなんですが、派遣で６年働いていたのですが１２月末で退職しました。１月後半になっても派遣先からのお仕事の紹介の連絡はきていません。職安で問い合わせしました所
１か月以内に仕事を紹介ったとみなされ失業保険がすぐに支給されるとのことでした。離職票もまだ届いてませんし１か月を超えた２月に入って待ってましたとばかりに派遣先にもらっても大丈夫なんでしょうか？それとも１か月たったら離職票はおくってくるものなんでしょうか？

父が今腎臓を悪くし透析をしないといけないかもしれなくって体調も悪く寝込んでます。
心配ですしすぐに働けない状態です。母が仕事を３つかけもちしてて家の事がほとんどできないため私が今家事全般をやっています。食事制限が厳しくてレトルトや冷凍食品は無理な為今は私が働けない状態なのです。
実際生活面でも病院代もかかり家計が苦しいのですぐに失業保険もれえるならばと思ったのですが。

辞めた理由は父親の件ではなく残業も多く（月平均残業５０～６０位）とても続けれないなと思って退職しました。
退職後家族と過ごす時間は増え父親があまりにも体調わるそうなので聞いてみたら人工透析するかしないか・・という状況だと聞き今まで仕事が忙しくて父親が腎臓悪くなっている事さえ気づかなかった事に後悔し、今は家族の時間を取りたいと思ってます。

どなたか詳しい方いらっしゃいましたらアドバイス頂けないでしょうか？長くなりましてすみません・・・。

後の方から
〉今は私が働けない状態なのです。
それでは、再就職できないのですから、受給できませんが。

〉それとも１か月たったら離職票はおくってくるものなんでしょうか？
派遣会社に聞く話でしょ？

登録制派遣なんですよね？
登録制派遣の場合、派遣されている間だけ雇用されるという立場です。
登録制派遣では、派遣終了後1ヶ月たたないと給付制限なしにはなりません。

登録そのものを止めたのなら、給付制限があるかどうかは退職理由によります。